АБУ РЕЙХАН БИРУНИ

ИНДИЯ

КИТАБ ТАРИХ АЛ-ХИНД

(КНИГА ИСТОРИИ ИНДИИ)

ГЛАВА LIII — ОБ ОБРАЩЕНИИ ГОДОВ [В МЕСЯЦЫ] ЧАСТНЫМИ ДЕЙСТВИЯМИ, ПРИМЕНЯЕМЫМИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ПОДРАЗДЕЛЕНИИ ВРЕМЕНИ [В ЭРАХ]

Начала эр, которые в зиджах обращаются в дни, не всегда точно совпадают со временем завершения адхимасы или дней недостатка [унаратры]. Поэтому авторы этих зиджей нуждаются в условно принимаемых числах, которые в зависимости от действия можно прибавлять или вычитать, чтобы провести все вычисление в надлежащем порядке.

Мы приведем здесь все правила, которые нами почерпнуты при изучении зиджей индийцев.

Прежде всего мы упомянем правило зиджа «Кхандакхадьяки», так как этот зидж лучше всего известен и так как индийские астрономы отдают ему особое предпочтение 1.

Брахмагупта говорит: «Возьми [год] шака-калы и отними от него 587; остаток умножь на двенадцать и прибавь к произведению целые месяцы, которые прошли из этого года. Сумму умножь на тридцать и прибавь к произведению дни, которые прошли из [начавшегося] месяца. [Последняя] сумма даст частные солнечные дни.

Напиши это число в трех местах. К среднему и нижнему числам прибавь к каждому по пяти, а нижнее раздели на 14 945. Частное вычти из среднего числа, отбросив остаток, полученный при делении. Потом раздели среднее число на 976. Частное даст число целых месяцев адхимасы, а остаток — время, истекшее из начавшейся адхимасы. Умножь эти месяцы на тридцать и прибавь произведение к числу, написанному наверху. В сумме получатся частичные лунные дни. Оставь их наверху, а то же число напиши на среднем месте. Умножь его на одиннадцать и прибавь к нему 497. Полученную сумму напиши внизу; затем раздели ее на 111 573, а частное вычти из среднего числа, отбросив остаток, [полученный при делении]. Далее раздели среднее число на 703; частное выразит дни недостатка [унаратры], а то, что [389] получится в остатке, то это — авамы 2. Вычти дни недостатка [унаратры] из верхнего числа. /226/ В остатке получишь гражданские дни. Это— 226 ахаргана в «Кхандакхадьяке». Раздели число, выражающее ее, на семь, остаток укажет на тот день недели, на который приходится данная дата.

Покажем это в отношении года, которым мы пользуемся как примером. По шака-кале ему соответствует 953 год. Вычтя из него 587, получаем 366. Умножаем это число на произведение, которое получается от умножения двенадцати на тридцать, ибо наша дата не содержит ни месяцев, ни дней. Получим 131760 — число, которое выражает солнечные дни.

Напишем это число в трех местах. К обоим числам, написанным ниже первого, прибавляем по пяти, отчего получаем по 131 765 для каждого. Нижнее число делим на 14 945. Частное 8 вычитаем из среднего числа и получаем разность, равную 131 757, причем остаток, получившийся при делении, отбрасываем.

Далее мы делим среднее число на 976. Частное, равное 134, выражает число месяцев; в остатке получается 973/976. Умножив месяцы на тридцать, получим число 4 020, которое прибавляем к солнечным дням. Таким образом мы получаем число лунных дней — 135 780. Пишем его под всеми тремя числами, умножаем на одиннадцать и прибавляем к произведению 497. Так мы получаем 1 494 077. Подписываем под всеми четырьмя числами и делим на 111 573; частное будет равно 13, а остаток, равный 43 628, отбрасываем. Частное вычитаем из среднего числа, а разность 1 494 064 делим на 703, после чего получается [новое частное] 2125, а в остатке авама - 189/703. Это частное вычитаем из лунных дней и получаем 133 655. Это — искомое число гражданских дней. Разделив его на семь, получим четыре, а следовательно, первое число [месяца] чайтры приходится на среду 3. Начало эры Иаздаджирда приходится раньше начала этой эры, и между началами обеих эр прошло 11 968 дней. В таком случае число дней, [которые прошли до нашего примера,] по эре Иаздаджирда равно 145 623. Когда мы разделим его на год и месяцы персов, это соответствует восемнадцатому дню месяца исфандармаза триста девяносто девятого года от Иаздаджирда. До полного завершения тридцати дней месяца адхимасы остается пять гхати, которые равны двум часам. Вследствие этого данный год будет високосным, а месяц, который в нем удваивается, — это чайтра».

Вот [то же] вычисление, произведенное согласно зиджу «ал-Арканд», но в плохом переводе: «Если пожелаешь узнать ал-арканд, то есть ахаргану, возьми девяносто и умножь на шесть, а к [390] произведению прибавь восемь плюс годы царства Синда, то есть время, истекшее до месяца сафар сто семнадцатого года, который соответствует [месяцу] чайтра сто девяностого года. Вычти из него 587 и в остатке получишь годы шакк.

Впрочем, проще взять полные годы эры Иаздаджирда и вычесть из них 33; в остатке получатся те же годы шакк. Можно также взять начальные девяносто лет ал-арканда, умножить их на шесть и прибавить к произведению четырнадцать, а затем прибавить к полученной сумме годы по эре Иаздаджирда и вычесть 587. В остатке опять получатся годы шакк».

Я полагаю, что упомянутые здесь [годы] шакк не что иное, как Шака. Тем не менее число, которое получается при вычислении этой даты, соответствует не числу лет по шака-кале, а числу лет по эре гупта-калы, причем выраженных в днях. Но если бы автор «ал-Арканда» [вместо этого] принимал эти девяносто умноженными на шесть и прибавлял к ним восемь — что дает 548 — и не изменял более этого числа прибавлением к нему годов, он бы пришел к тому же самому результату, избегнув натянутости.

Первое число месяца сафар, на которое здесь указал автор, соответствует восьмому дню [месяца] Займах 103 года /227/ от Иаздаджирда.

Поэтому он ставит [месяц] чайтру в зависимость от новолуния [месяца] даймах. Однако месяцы персов того времени ушли вперед, потому что четверти дня больше не прибавлялись.

Изложенное требует, чтобы эра царства Синда, о которой он говорит, опережала эру Иаздаджирда на шесть (В арабском оригинале «семь» ) лет. Следовательно, число годов этой эры, [которые прошли] до времени, взятого нами в качестве примера 4, должно равняться 405, а вместе с теми годами ал-арканда, с которых начинает свое вычисление автор этого зиджа, именно 548, получается всего 953 года по шака-кале. При вычитании числа, указанного автором, получается соответствующий год гупта-калы. Остальные действия по обращению годов в месяцы ничем не отличаются от тех, которые мы привели из «Кхандакхадьяки». В некоторых списках иногда еще встречается деление на тысячу вместо 976, но это всего лишь ошибка в рукописях, а не другой способ.

Далее следует метод Виджаянандина, приведенный в его зидже, называемом «Каранатилака». Он состоит в следующем: «Возьми годы шака-калы, вычти из них 888, а остаток умножь на двенадцать и прибавь к произведению целые месяцы, которые прошли из начавшегося года. Сумму напиши в двух местах; одно из этих чисел умножь на 900, прибавь к произведению 661, а полученную сумму раздели на [391] 29 282; частное выразит месяцы адхимасы. Прибавь их к числу, написанному во втором месте, сумму умножь на тридцать, а к произведению прибавь дни, которые прошли из начавшегося месяца. Полученная сумма выразит лунные дни. Напиши последнее число в двух местах. Одно из них умножь на 3 300 и прибавь к произведению 64 106, а сумму раздели на 210 902. Частное выразит дни недостатка [унаратру], а остаток — аваму. Вычти дни недостатка [унаратру] из лунных дней; разность покажет тебе ахаргану, которая считается начиная с полночи» 5.

Мы покажем этот способ в применении к году, взятому нами в качестве примера. Вычтя из соответствующего года шака-калы 888, получаем разность в 65 лет или 780 месяцев. Число это мы пишем в двух местах. В одном месте умножаем его на 900, прибавляем к произведению 661 и делим все на 29 282; получаем 23 29175/29282 месяца адхимасы.

Что касается множителя, которым мы пользуемся для обращения месяцев в дни, то он равен тридцати, однако произведение, которое мы получим, умножаем еще раз на тридцать. Что же касается делителя, то он представляет произведение от умножения 976 со следующей за этим числом дробью на тридцать; [делается это] для того, чтобы [оба числа] были выражены в однородных величинах.

Продолжая действие, мы прибавляем полученное число месяцев к месяцам, найденным уже раньше. Умножив сумму на тридцать, получаем 24 090 лунных дней. Записав это число в двух местах, умножим одно из них на 3 300 и получим 79 497 000. Прибавив к этому 69 601, получаем сумму 79566601. Разделив ее на 210902, мы получим частное 307 для дней недостатка [унаратры], а в остатке — аваму 56547/210902. Дни недостатка мы вычитаем из лунных дней, записанных на втором месте, а полученная при этом разность выразит гражданскую ахаргану, а именно — 23 713 8.

Вот что об этом говорится в «Панча-сиддхантике» Варахамихиры; «Возьми [число годов] шака-калы; вычти из них 427, разность обрати в месяцы, умножив ее на двенадцать. Запиши полученное произведение в двух местах. В одном умножь его еще на семь и раздели произведение на 228. Частное выразит число месяцев адхимасы. Прибавь его к числу, написанному во втором месте, и умножь сумму на тридцать, а к произведению прибавь число дней, которые прошли из начавшегося месяца. Сумму напиши в двух местах. Нижнее число умножь на одиннадцать, /228/ к произведению прибавь 514, а сумму раздели на 703. Частное вычти из числа, написанного во втором месте. [392] Разность выразит число гражданских дней». Таков, по утверждению Варахамихиры, метод румской «Сиддханты» 9.

Мы применим его в отношении года, взятого нами как пример. Из числа годов шака-калы вычитаем 427; разность будет равна 526 годам, или 6312 месяцам, а соответствующее им число месяцев адхимасы составляет 193 с остатком 15/19. Сумма с другими месяцами — 6 505, а сумма их лунных дней — 195 150. Сложения, встречающиеся в этом методе, нужны ввиду наличия дробных чисел в начале эры, которой мы пользуемся. Умножение на семь нужно для того, чтобы обратить все число в седьмые доли. Что же касается делителя, то он представляет число седьмых долей одной адхимасы, протяжение которой автор принял в тридцать два месяца семнадцать дней восемь гхати и около тридцати четырех чашак 10.

Затем мы пишем лунные дни в двух местах. Нижнее число умножаем на одиннадцать и прибавляем к произведению 514; получается 2 147 164. Разделив это число на 703, получаем частное 3 054, которое представляет дни недостатка [унаратру], и остаток 202/703. Вычитаем дни из числа, написанного на втором месте, и получается остаток 192 096, представляющий гражданские дни той даты, на которой основаны все хронологические вычисления нашей книги.

Мнение Варахамихиры, касающееся адхимасы, ближе всего стоит к мнению Брахмагупты. Это потому, что остаток, [полученный Варахамихирой для числа дней адхимасы], в нашем примере выражается дробью 15/19, тогда как в вычислениях, которые мы делали, считая от начала кальпы, мы нашли для него что приблизительно равно 15/17.

В мусульманских астрономических таблицах, называемых зидж сал-Харкан», мы встречаем тот же метод вычисления, но в применении к другой эре, начало которой должно прийтись позже начала эры йаздаджирда на 40081 [день]. Согласно этой книге, начало индийского года приходится на воскресенье двадцать первого даймаха сто десятого года от йаздаджирда 11. Метод этот можно испробовать следующим образом: «Возьми семьдесят два года, обрати их в месяцы, умножив на 12, что даст 864 месяца. Прибавь к ним месяцы, которые прошли от первого ша'бана сто девяносто седьмого года до первого числа месяца, в котором ты сейчас находишься 12. Сумму напиши в двух местах. Нижнее число умножь на 7, а произведение раздели на 228. Частное прибавь к верхнему числу, а сумму умножь на тридцать. К произведению прибавь число дней, которые прошли из месяца, в котором ты находишься. Затем напиши это число в двух местах. Прибавь 38 к нижнему числу, а сумму умножь на одиннадцать 13. [393] Произведение раздели на 703 и вычти частное из верхнего числа. Разность наверху выразит число гражданских дней; разность внизу выразит число авам. Но если прибавить единицу к числу дней и сумму разделить на семь, то остаток укажет день недели, на который приходится эта дата» 14.

Это действие было бы правильным, если бы месяцы семидесяти двух годов, [с которых начинается вычисление], были лунными. Но так как они солнечные, к ним надо добавить еще около двадцати семи месяцев. Таким образом, эти семьдесят два года представляют больше, чем 864 месяца 15.

Мы опять покажем применение этого метода на основе даты, взятой нами в качестве примера, а именно на первом дне [месяца] раби‘ I четыреста двадцать второго года хиджры.

Между ранее приведенной датой первого ша'бана [и здесь указанной датой прошло] 2695 месяцев. Прибавив их к числу месяцев, принятому автором метода (Т. е. 864 ), получим сумму в 3559 месяцев. Напишем это число в двух местах и умножим одно из них на 7, а произведение разделим на 228. Частное /229/ выразит месяцы адхимасы, а именно 109. Прибавим их к числу, написанному в другом месте, и получим 3668. Умножив их на тридцать, получим 110 040. Напишем это число в двух местах. К нижнему прибавим 38 и получим 110 078. Умножим его на одиннадцать и разделим произведение на 703. Тогда мы получим частное 1 722 и остаток 292, который представляет авамы. Вычтем затем частное из числа, написанного наверху; разность 108 318 выразит гражданские дни.

Это действие можно поправить следующим образом. Надо знать, что между началом эры, которой здесь пользуются, и первым ша'бана, взятым в данном случае за основную дату, прошло 25 958 дней — число, которое по календарю арабов равно 876 месяцам, иначе говоря— семидесяти трем годам и двум месяцам. Если же мы далее в нашем годе-примере прибавим к числу этих месяцев месяцы, которые прошли между первым ша'бана и первым раби‘ I, то получим сумму в 3 571 месяц, а вместе с месяцами адхимасы — 3 680 месяцев, иными словами — 110 400 дней, которые [после деления] дают 1 727 дней недостатка плюс остаток в 319 авам. Гражданские дни [после вычитания] дают число 108 673. Все вычисление будет в том случае правильным, если мы вычтем из этого числа единицу и разделим остаток на семь. Ибо остаток при делении будет четыре, как и в нашем примере 16.

Что касается метода Дурлабхи Мултанского 17, то он берет 848 лет и прибавляет к ним лаукика-калу; полученная сумма дает год по [394] шака-киле. Он вычитает из него 854, а разность обращает в месяцы, число которых он записывает вместе с месяцами, прошедшими из начавшегося года, в трех местах. Нижнее число он умножает на 77, а произведение делит на 69 120. Частное он вычитает из среднего числа, удваивает остаток и прибавляет к нему 29. Полученную сумму он делит на 65 так, чтобы получить месяцы адхимасы. Он прибавляет их к верхнему числу и умножает сумму на тридцать. Произведение он записывает вместе с днями, которые прошли из [начавшегося] месяца, в двух местах. Нижнее число он умножает на одиннадцать и прибавляет к произведению 686. Сумму он подписывает внизу и делит ее на 403 963, а частное прибавляет к среднему числу. Сумму он делит на 703. Полученное им частное выражает дни недостатка [унаратру]. Он вычитает их из верхнего числа, и разность показывает гражданскую ахаргану.

Это действие мы уже объяснили раньше в общих чертах. Когда этот человек применил его к частному случаю, то он сделал несколько добавлений, оставив основной ход действия без изменения.

Что касается «Каранасары», то привести то, что есть в ней, мешает отклонение ее автора от вычисления [ахарганы] к другому способу и скверный перевод дошедших до нас частей этой книги. Все, что можно из нее извлечь, сводится к следующему.

Он вычитает из [годов] шака-калы 821. Разность представляет основу. По отношению к году, взятому нами в качестве примера, это будет 132 год. Он пишет это число в трех местах. Число, написанное в первом месте, он умножает на 132 градуса. Произведение дает 17 424 (В арабском тексте опечатка—17 464 ) для нашего года-примера. Он умножает число, написанное во втором месте, на 46 минут, что дает 6072. Число, написанное в третьем месте, он умножает на 34 и получает 4488. Он делит это число на 50 и в частном получает минуты с их долями, а именно 89' 46". Затем он прибавляет к сумме градусов, написанной на верхнем месте, 112 и переводит последовательно секунды в минуты, минуты в градусы, а градусы в окружности, получая 48 окружностей 358°41'45". Это число показывает среднее положение Луны в момент вхождения Солнца в знак Овна.

Потом он делит градусы среднего положения Луны на 12 и получает дни. Остаток он умножает на шестьдесят и прибавляет к ним минуты среднего положения Луны. Сумму он делит на двенадцать, получая в частном /230/ гхати с их меньшими долями. Так мы получаем 27°23'29", которые представляют дни адхимасы 18. [395]

Нельзя сомневаться, что это число выражает прошедшую часть месяца адхимасы, в которой мы находимся. Автор утверждает относительно того, как образуется продолжительность месяца адхимасы, что он делит числа, которые мы получили для Луны, а именно 132°46'34", на двенадцать 19. Так получается отрезок времени, приходящийся на год,— 11°3'52"50'" и часть, приходящаяся на месяц,— 0°55'19"24"'10"". Продолжительность времени, в течение которого завершаются тридцать дней [адхимасы], он исчисляет в два года восемь месяцев шестнадцать дней четыре гхати и сорок пять чашак. Потом он умножает основу на 29 и получает 3 828. К этому произведению он прибавляет 20 и делит сумму на 36. Частное выражает дни недостатка [унаратру], а именно 106 8/9.

Так как я не был в состоянии найти объяснение этого действия, то оставил его в том виде, [в каком оно приводится автором,] ибо дней унаратры, соответствующих одному месяцу адхимасы, — пятнадцать и 7887/10622.


Комментарии

1. Как замечает Шрам, употребляемые далее цифры принадлежат системе Пулисы, а не Брахмагупты. По теории Пулисы, число лунных дней в чатур-юге равно 1603 000 080, число дней унаратры равно 25 082 280; следовательно, один день унаратры приходится на 63 63379/69673 лунных дня. Число данных лунных дней равно L; но прежде чем делить L на 63 63379/69673; мы вычтем из него X, чтобы делить остаток на 63 10/11т. е. на 703/11. По уравнению L(63 63379/69673)=(L-X)703/11) мы определяем X = 1/111573 11/439 или приблизительно X = L/111573 (Schram; Sachau, India, transl, 11 pp. 373-375).

2. Авама (avama, ’бм) — разница между лунными и солнечными месяцами, выраженная числом суток по 24 часа.

3. Первый день чайтры 953 г. Шака соответствует 2 097 686 дню юлианского календаря; первый день эпохи, взятой для вычисления (587 г. Шака) соответствует 1 964 031 дню юлианского календаря. Разница между ними составит 133 655 дней (Schram; Sachau, India, transl, II, p. 375).

4. 24 февраля 1031 г.

5. По определению Шрама, этот метод основан на теории Пулисы, согласно которой для определения числа месяцев адхимасы следует число солнечных дней разделить на 976 4436/66389 т. е. приблизительно на 976 2/30 или 29282/30. Если S — число солнечных месяцев, число солнечных дней 30 S следует разделить на — 29282/30 — или, что то же самое, 900 S на 29 282. Год 888 эры Шака соответствует году 3 244 067 чатур-юги; 3 244 067 лет равны 38 928 804 солнечным месяцам. Помножив это число на 66389 (число месяцев адхимасы чатур-юги) и разделив его на 2 160 000 (число солнечных месяцев чатур-юги), получаем 1196502 4063/180000. Дробь 4063/180000 может быть приравнена к (550 172766/186000)/29282 или, приблизительно, к 661/29 282; поэтому перед делением на 29 282 следует произвести действие: 900 S + 661 (см. там же).

6. Для определения числа дней унаратры следует число лунных дней разделить на 63 63379/69673, что приблизительно равно (703 2/300)/11 или 210902/3300. Число лунных дней чатур-юги для года 888 эры Шака равно 1203 759180. Умножаем это число на 11 и получаем 13 241 350 980; вычитаем из этого числа 13241350980/111173 (см. прим. 1) или округленно 118 679. Остаток делим на 703 и получаем число дней унаратры 18835323 232/703. Дробь 232/703 равна (69600 461/703)/210902. Поэтому перед делением на 210 902 мы должны прибавить к произведению 3 300 L не 67 106, как указано у ал-Бируни, а 69 601 (там же).

7. Шрам указывает: прибавив к 780 месяцам 23 месяца адхимасы, получаем число 803; умноженное на 30, оно равно 24 090 (а не 24 060, как в арабском тексте). Отсюда все последующие ошибки (там же).

8. Числа в этом абзаце даны с учетом поправок Шрама к английскому переводу Захау. В арабском тексте соответственно: 79 398 000; 64 106; 79 462 104; 379 вместо 307; 6(2952/210902; 23684; 23713). См. о недостатках этого метода: Schram; Sachau, India, transl., II, pp. 377, 378.

9. Как замечает Шрам, этот метод связан с понятием девятнадцатилетнего цикла у греков. Один месяц адхимасы приходится на 32 4/7 (т. е. на 228/7) солнечных месяца 228/7 солнечных месяца равны 19/7 солнечных лет (там же).

10. То же, что 32 месяца (там же).

11. Начало эры Яздаджирда приходится на 16 июня 632 г.; 40 081 день позже — 12 марта 742 г.; между тем, 21 даймаха 110 г. от Яздегирда соответствует 11 марта 742 г. (там же, р. 379).

12. Соответствует началу месяца вайшакха 736 г. эры Шака. Шрам замечает, что даты, принятые ал-Бируни, ошибочны и метод не понят (там же, р. 378).

13. Шрам поправляет: 28. См. его примечание, поясняющее вычисления aл-Биpуни: Sachau, India, transl., II, pp. 379, 380.

14. За первый день недели здесь принимается пятница, а не воскресенье, как в индийских книгах (там же, р. 380).

15. Здесь ошибается ал-Бируни, — замечает Шрам. Метод «ал-Харкана» правилен именно при условии, что месяцы 72 годов — солнечные (там же).

16. Шрам указывает, что исправление неверно, как и сам приведенный пример (см. там же, pp. 380-382).

17. Нижеследующие действия Дурлабхи объяснены выше. См. стр. 380 и примечания к ним.

18. Как указывает Шрам, по этому методу прежде всего определяется разница между средней долготой Солнца и Луны. Числа принадлежат системе Пулисы. Разница оборотов Солнца и Луны за чатур-югу составляет 53433 336 — число лунных месяцев. Деление этого числа на 4 320 000 (число солнечных лет чатур-юги) дает частное 12 132788/360000 — число лунных месяцев в солнечном году. Разница между годичными оборотами Солнца и Луны составляет 132778/360000, или 132 778/1000 — градуса (132° 46 32/50'). Помножая число лет на 132° 46 34/50', получаем искомую разницу. Год 821 эры Шака соответствует году 3244000 чатур-юги. За 3244000 лет Луна «обгонит». Солнце на 40124477 122/360 оборота (3244000 X 53433336 : 4320000). Следовательно, в данный момент Луна будет «впереди» Солнца на оборота, т. е. на 112 градусов. Прибавив 112° к найденной выше сумме, получаем за вычетом полных оборотов 358°41'46" на 12 и дробь превращаем в гхати и чашаки; получаем в итоге 29 дней 53 гхати 29 чашак, что соответствует 44837/45000 месяца адхимасы (см. выше). Ал-Бируни получает 27°23'29" для 328°41'46" вместо 358° 41' 46" (см. там же, рр. 383, 384).

19. Число 132° 46' 34" ошибочно (следует: 132° 46 34/50'). Следовательно, году соответствует промежуток в 11 дней 3 гхати 53 чашака 24"'; месяцу — 0°55'19"27'". Продолжительность времени, в течение которого завершаются 30 дней адхимасы составит 2 года 8 месяцев 16 дней 3 гхати 55 чашак (там же, р. 384).

20. В конце этой главы предполагается большая лакуна, поскольку значение приводимых здесь вычислений неясно (там же, рр. 384, 385).