АБУ РЕЙХАН БИРУНИ
ИНДИЯ
КИТАБ ТАРИХ АЛ-ХИНД
(КНИГА ИСТОРИИ ИНДИИ)
ГЛАВА LII — ОБ ОБЩЕМ ОБЪЯСНЕНИИ ВЫЧИСЛЕНИЯ АХАРГАН, ТО ЕСТЬ ОБРАЩЕНИИ ГОДОВ И МЕСЯЦЕВ В ДНИ И ОБРАТНОМ ДЕЙСТВИИ ПО ПЕРЕВОДУ ДНЕЙ В ГОДЫ
При обращении [годов и месяцев в дни] руководствуются следующим общим правилом. Полные годы умножаются на двенадцать; к произведению прибавляют месяцы, которые прошли из начавшегося года, и к сумме прибавляют дни, которые прошли из начавшегося месяца. Последняя сумма будет саурахаргана, то есть сумма солнечных, именно частичных солнечных дней.
Число это пишут в двух местах; в одном месте его умножают на 5 311—на число, которое представляет дни всеобщей адхимасы, а полученное произведение делят на 172 800, то есть на число, которое представляет всеобщие солнечные дни. Частное, как содержащее целые дни, прибавляется к числу, написанному в другом месте; их сумма составит чандрахаргану, то есть сумму частичных лунных дней 1.
Полученная сумма снова пишется в двух местах. В одном месте она умножается на 55 739, то есть на число, представляющее всеобщие дни недостатка [унаратры], и произведение делится на 3 562 220, то есть на число, представляющее лунные дни 2.
Частное, представляющее целые дни, вычитается из числа, написанного в другом месте, в остатке получается саванахаргана, то есть искомая сумма гражданских дней.
Следует, впрочем, иметь в виду, что это вычисление выводится только из периодов времени, в которых вместе содержатся целые адхимасы и целые дни недостатка [унаратры], без дробей. Следовательно, если данные годы начинаются одновременно с началом кальпы, чатур-юги или кали-юги, то вычисление правильно; но если данные годы начинаются в другое время, то вычисление может оказаться правильным только случайно, причем возможно, что оно покажет наличие адхимасы, и тогда оно будет неправильным; наконец, в обоих случаях можно получить и противоположные результаты. Однако если [374] известно, на какой именно момент этих трех [периодов] приходится начало данных годов, то в этом случае применяется особый способ вычисления, который можно уяснить себе из нижеследующих примеров.
Возьмем начало 953 индийского года шака-калы, того самого, который нам уже служит в качестве примера для вычисления. Вычислим сперва время с начала жизни Брахмы по канонам Брахмагупты. Мы уже сказали, что до текущей кальпы прошло 6 068 кальп. Число дней в кальпе известно, а сумма дней [прошедших] кальп будет 9 574 797 018 600 000 3.
При делении этой суммы на семь в остатке получается пять; отсчитав на это число дни назад от субботы, которая является последним днем предшествующей кальпы, мы дойдем до вторника. Это первый день жизни Брахмы.
Мы уже указали, сколько дней содержится в чатур-юге, и объяснили, что крита-юга равна четырем десятым ее, то есть 631 166580 дням Манвантара содержит в себе семьдесят один раз то же число, 217 иначе говоря, 112 032 067 950 дней. Сумма дней шести манвантар вместе с их сандхи из семи крита-юг составляет 676610 573 760 дней. Если разделить это число на семь, в остатке получится два. Поэтому шесть манвантар оканчиваются понедельником, а начало седьмой приходится на вторник.
Из седьмой манвантары прошло уже двадцать семь чатур-юг, то есть 12 603744 150 дней. Остаток от деления этого числа на семь будет два. Таким образом, двадцать восьмая чатур-юга начинается со вторника (В английском переводе «с четверга» ). Число дней в югах, которые прошли из этой чатур-юги, составляет 1420 124 805. [Если его разделить на семь, в остатке останется один.] Таким образом, кали-юга начинается с пятницы.
Затем вернемся к нашему примеру [году]: прошедшие до него годы кальпы составляют 1 972 948 132. Умножив это число на двенадцать, чтобы обратить его в месяцы, мы получим 23 675 377 584. В году, взятом в качестве примера, нет месяцев, и потому к этому ничего не надо прибавлять.
Умножив же это число на тридцать, мы получим 710 261 327 520, а это — число дней. А так как в нашем примере [году] дней тоже нет, то и к этому числу ничего не надо прибавлять. Поэтому, если бы мы умножили эти годы на триста шестьдесят, мы получили бы в произведении то же самое, что у нас получилось теперь, а именно — частичные солнечные дни. [375]
Умножим их на 5 311 и разделим произведение на 172 800. Мы получим 21829 849 018 и 103/120 дня адхимасы. Если бы при умножении и делении мы оперировали месяцами, то нашли бы месяцы адхимасы, которые, умноженные на тридцать, были бы равны упомянутым дням адхимасы.
Если же затем прибавим дни адхимасы к частичным солнечным дням, получится 732091 176 538, то есть число частичных лунных дней. Умножив их на 55 739 и разделив произведение на 3 562 220, мы получим частичные дни недостатка [унаратры], а именно —11 455 224 575 1747541/1781110 [Отбросив дробь], вычтем целые числа этой суммы из частичных лунных дней, тогда остаток 720 635 951 963 должен быть равен числу гражданских дней в нашем примере [году].
При делении его на семь в остатке получится четыре, а это — последний из указанных дней, [т. е. среда]. Таким образом, индийский год начинается с четверга.
Если мы потом захотим найти время адхимасы, то нам надо разделить дни адхимасы на тридцать и частное 727 661 633 будет представлять число прошедших адхимас плюс остаток в 28 [дней] 51 [минуту] 30 [секунд] для текущего года. Это число представляет уже истекшее время из месяца адхимасы [для текущего года], которому не достает, чтобы завершился тридцатидневный [месяц], 1 дня 8 минут и 30 секунд 4.
До сих пор мы пользовались солнечными и лунными днями и днями адхимасы и недостатка [унаратры], чтобы установить некоторую прошедшую часть кальпы. Так же будем мы действовать, чтобы установить прошедшую часть чатур-юги. Допустимо применять те же действия, что и для каждой чатур-юги, и для кальпы, так как оба способа приводят к тому же [результату], пока мы действуем согласно одной и той же теории, не смешивая различные теории, и пока каждая гунакара с ее бхагабхарой, которые мы здесь вместе упоминаем, соответствуют друг другу [в обоих вычислениях].
Первый из этих терминов означает множитель, применяемый во всех вычислениях. В наших зиджах, как и в зиджах персов, он иногда встречается в форме кунджар.
Второй термин означает делитель. Он встречается в зиджах в форме бахджар 5.
Было бы бесполезно нам показывать это вычисление на примере чатур-юги, ибо, согласно теории /218/ Брахмагупты, последняя является 218 одной тысячной долей кальпы. В уже приведенных числах для этого следует отбросить лишь три ноля, чтобы получить те же числа. [376]
Поэтому мы теперь произведем это действие согласно теории Пулисы, так как оно хотя и относится к чатур-юге, но сходно с действием, применяемым для кальпы.
По его теории, до начала года, которым мы пользуемся как примером, из чатур-юги прошло 3 244 132 года, что в солнечных днях составляет 1 167 887 520 дней. Если мы умножим число месяцев, [соответствующих числу дней] чатур-юги, на число месяцев адхимасы одной чатур-юги или на равнозначащий множитель и разделим произведение на число солнечных месяцев, которые содержатся в одной чатур-юге, или на равнозначащий делитель, мы получим для числа месяцев адхимасы 1 196 525 44837/45000.
Прошедшие годы чатур-юги составляют 1 203 783 270 лунных дней 6. Если же их умножить на число дней недостатка [унаратры], содержащихся в одной чатур-юге, и разделить произведение на число лунных дней чатур-юги, мы получим для дней недостатка [унаратры] 18 835 700 598055/2226389. Из этого вытекает» что с начала чатур-юги прошло 1 184 947 570 гражданских дней, а это как раз то, что требовалось найти.
Теперь мы приведем из «Сиддханты» Пулисы действие, которое он, подобно нам, произвел, чтобы яснее сделать его смысл и способствовать закреплению в памяти. Пулиса выражается так: «Сперва мы отмечаем кальпы, которые уже прошли из жизни Брахмы, а именно 6068 кальп, и умножаем их на число чатур-юг в кальпе, то есть на 1008, и получаем 6 116 544. Это произведение мы еще раз умножаем на число юг чатур-юги, то есть на четыре, и получаем 24 466 176. Это новое произведение мы множим на число лет одной юги, то есть на 1 080 000, и получаем 26 423 470 080 000. Это число показывает, сколько лет прошло до начала текущей кальпы. Мы умножаем его на двенадцать и получаем 317 081 640 960 000 месяцев, которые записываем в двух местах.
В одном месте мы умножаем это число на число месяцев адхимасы, содержащихся в чатур-юге, то есть на 1 593 336, или на равнозначащее число, упомянутое раньше в своем месте, и делим произведение на число солнечных месяцев чатур-юги, то есть на 51 840 000; частное составит число месяцев адхимасы —9 745 709 750 784.
Эту последнюю величину прибавляем к числу, написанному во втором месте, и получаем 326 827 350 710 784 (В английском переводе «326 827 535 710 784» ). Умножив это число на тридцать, получаем 9 804 820 521 323 520, что представляет число лунных лет. [377]
Вновь полученное произведение опять пишется в двух местах. В одном месте оно умножается на недостаток [унаратру] чатур-юги, то есть на разницу между гражданскими и лунными днями, а произведение затем делится на число лунных дней чатур-юги. Так получается частное 153 416869 243 200 (В английском переводе «153 416 869 240 320» ), которое представляет дни недостатка [унаратры].
Мы вычитаем это число из того, которое написано в другом месте, получая в остатке 9 651 403 652 083200, что составляет дни, прошедшие из жизни Брахмы до начала текущей кальпы, иными словами, выражает сумму дней 6068 кальп, каждая из коих содержит по 1590 541 142 400 дней. Так как число это делится на семь без остатка, то, следовательно, [период времени, который оно выражает], заканчивается субботой, а текущая кальпа начинается с воскресенья. Из этого следует с необходимостью, что жизнь Брахмы также началась в воскресенье». Так говорит Пулиса.
Из начавшейся кальпы прошло шесть манвантар, каждая по семьдесят две чатур-юги, а каждая чатур-юга /219/ по 4 320000 лет. Следовательно, сумма годов [шести] манвантар составит 1866240000 лет.
С этим числом мы поступаем так же, как раньше с другими, и получаем число дней шести полных манвантар — 681 660 489 600 (Поправка внизу: «6816 689 600». ). Если это последнее число разделить на семь, в остатке получится шесть; следовательно, прошедшие манвантары заканчиваются пятницей, а начало седьмой приходится на субботу.
Из начавшейся манвантары прошло двадцать семь чатур-юг, сумма дней которых, согласно с предшествующими действиями, составит 42 603 780 600. [Из этого также следует, что] конец двадцать седьмой чатур-юги приходится на понедельник, а начало двадцать восьмой — на вторник.
Из начавшейся чатур-юги прошло три юги, годы которых в сумме составляют 3240 000; их дней, все по тем же вычислениям, будет 1 183438350, и они завершаются четвергом, а кали-юга начинается с пятницы. Таким образом, из [начавшейся] кальпы уже прошло 725447 708550 дней, а дней, что прошли с начала жизни Брахмы до начала кали-юги, в которой мы находимся, — 9 652129099 791750.
Согласно устной передаче со слов Арьябхаты 7, так как какой-либо книги его мы не видели, у него сумма дней чатур-юги—1577 917 500; 8 тогда время, истекшее из кальпы. до начала кали-юги, составляет 725 447 570 625 дней, а до дня, взятого нами в качестве примера 9,— [378] 725 449 079 845 дней; дни же, прошедшие из жизни Брахмы до [начала] нашей кальпы, составляют 9 651 401 817 120 000 10.
Таков правильный путь обращения годов [в дни], и все прочие измерения времени, доступные пониманию, должны производиться в соответствии с ним.
Мы уже указали на ошибку, допущенную Йа'кубом [ибн Тариком] (См. выше, стр. 371 ) при вычислении всеобщих солнечных дней и всеобщих дней недостатка [унаратры]. Передавая со слов своего индийца какое-нибудь вычисление, логические основания которого ему были не понятны, он должен был, по крайней мере, разобраться в их ходе и проверить данные.
Он также упоминает в своей книге ахаргану, то есть действие для обращения годов [в дни], но ошибается, когда говорит: «Умножь месяцы данного числа годов на число месяцев адхимасы, которые прошли до нужного тебе времени, по правилам, известным из вычисления адхимасы. Произведение раздели на число солнечных месяцев. Частное, которое у тебя получится, выражает месяцы адхимасы и их части, которые прошли до нужного тебе времени».
Ошибка в его словах настолько очевидна, что ее мог бы заметить не только математик, строящий свое вычисление по этому методу, по даже переписчик рукописи: он умножает на частичную адхимасу вместо всеобщей.
В его книге упоминается другой, правильный прием для обращения [годов], а именно: «Когда найдено [общее] число месяцев в годах, оно умножается на число лунных месяцев, а произведение делится на солнечные месяцы. Частное покажет число месяцев адхимасы вместе с числом месяцев этих годов. А если это число умножить на тридцать и к произведению прибавить дни, которые прошли из начавшегося месяца, то их сумма покажет число лунных дней.
Но если первое число месяцев умножить до этого на тридцать и добавить к произведению прошедшую часть месяца, то сумма покажет число частичных солнечных дней; а если с этими числами далее поступить так же, как мы ранее поступали, мы получим вдобавок к солнечным дням дни адхимасы».
Логическое основание этого вычисления сводится к следующему. Когда мы умножаем на число месяцев всеобщей адхимасы, как то мы делали раньше, и затем делим произведение на число всеобщих солнечных месяцев, то частное выражает ту часть времени адхимасы, на которую мы умножали. Очевидно, что лунные месяцы представляют сумму солнечных месяцев и месяцев адхимасы. Итак, когда мы умножаем на число лунных месяцев и деление остается без изменения, то [379] частное также представляет сумму множимого и искомого, которая все так же выражает лунные дни.
Мы уже указали [выше], /220/ что при умножении [лунных дней] на всеобщие дни недостатка [унаратры] и при делении полученного произведения на всеобщие лунные дни получается та часть дней недостатка [унаратры] которая состоит из всеобщих лунных дней. Однако сумма гражданских дней кальпы меньше суммы лунных дней на число дней недостатка [унаратры]; таким образом, сумма лунных дней у нас относится к сумме лунных дней без их части унаратры, так же как сумма всех лунных дней [кальпы] относится к совокупности ее лунных дней без дней унаратры; получаемое число выражает количество всеобщих гражданских дней.
Следовательно, если умножить данное число лунных дней на всеобщие гражданские дни и разделить произведение на всеобщие лунные дни, частное выразит число гражданских дней для данной даты, а это то, что нам требовалось найти. Вместо того, чтобы умножать на сумму гражданских дней [кальпы], мы умножаем на 3 506481 и вместо того, чтобы делить на сумму лунных дней [кальпы], мы делим на 3 562 220 11.
У индийцев есть еще один способ для этого вычисления. Он состоит в том, что они умножают истекшие годы кальпы на двенадцать и прибавляют к произведению целые месяцы, которые прошли из начавшегося года. Эту сумму они пишут над 69 120 12, а число, которое получается, они вычитают из числа, написанного посредине. Удвоив остаток, они делят его на 65 и получают частичные месяцы адхимасы.
Это число они прибавляют к тому, которое написано выше всех. Потом всю сумму они умножают на тридцать и прибавляют к произведению число прошедших из начавшегося месяца дней. [Новая] сумма покажет число частичных солнечных дней 13. Это число [опять] они пишут в двух местах, [одно под другим]. Нижнее число они умножают на одиннадцать, а произведение пишут под ним. Затем они делят его на 403 963, а частное прибавляют к среднему [числу] 14. Далее они делят [последнюю] сумму на 703. Полученное частное выражает частичные дни недостатка [унаратры]. Это число они вычитают из верхнего числа, и в остатке получают искомые гражданские дни.
Логическое основание этого действия состоит в следующем. Если всеобщие солнечные месяцы разделить на всеобщие месяцы адхимасы, то в качестве меры для одного месяца адхимасы получится 32 8544/15933 солнечных месяца. При удвоении этого числа получится 65 1155/15933 солнечных месяца. Если разделить на это число удвоенное число месяцев данных годов, то частное выразит число частичных [месяцев] [380] адхимас. Но когда мы делим на целые числа вместе с их дробью и затем хотим отнять часть от делимого, остаток которого делится только на целые числа, а обе вычитаемые части равны, [так как представляют собой доли целых единиц, к которым они принадлежат], то в этом случае весь делитель находится в том же отношении к дроби, которая за ним следует, как делимое относится к вычитаемой части 15.
Итак, если мы найдем [этот] делитель для года, взятого нами в качестве примера, у нас получится дробь 1155/1036800 а после ее сокращения на пятнадцать: 77/69120.
Это действие можно было бы произвести не удваивая месяцы адхимасы, чтобы не быть вынужденным удваивать остаток. Однако изобретатель этого метода как будто предпочел именно удвоение, видимо, ради сокращения чисел; ибо, если считать не удвоенными адхимасами, получается дробь 8544/518400, которая может быть сокращена на общий делитель 96; в этом случае мы получаем 89 в качестве множителя и 5400 в качестве делителя.
Изобретатель этого метода показал ясно в этом свою проницательность и обоснованность своего вычисления, получив в результате частичные лунные дни и наименьший множитель.
Что касается метода [Брахмагупты] для получения дней недостатка [унаратры], то он следующий.
Если разделить всеобщие лунные дни /221/ на всеобщие дни недостатка [унаратры], получится 63 с дробью, которая при сокращении на общий делитель 450 000 будет равна 55642/55739. Так мы получаем лунные дни, в течение которых заканчивается один день недостатка [унаратры]. Если выразить ту же дробь в одиннадцатых долях, мы получим 9/11 плюс остаток 55 642/55739, который, будучи обращен в минуты, составит 0' 59" 54"'. Так как это дробное число очень близко к единице, то его не принимают во внимание и превращают в дробь 10/11. Таким образом, по вычислениям индийцев, один день недостатка [унаратры] заканчивается в 63 10/11 лунных дня или в 703/11 лунного дня, если все число обратить в дробь.
Если теперь умножить число лунных дней, соответствующее числу дней недостатка [унаратры], на 50663/6355739. то произведение будет, безусловно, меньше (В арабском тексте «больше»! ), чем при умножении 63 10/11. [381]
Поэтому, если делить лунные дни на 703/11—, приняв, что частное равно первому указанному числу, к лунным дням должна быть прибавлена некоторая часть, которую Пулиса вычислил не точно, а только приблизительно. Ибо, если мы умножим всеобщие дни недостатка [унаратры] на 703, получится 17 633 032 650 000 — число, которое больше, чем всеобщие лунные дни, [взятые одиннадцать раз], так как при умножении всеобщих лунных дней на одиннадцать получится 17 632 989 000 000. Разница между обоими числами составляет 43 650 000. Если разделить на это число произведение от умножения всеобщих лунных дней на одиннадцать, получится 403 963. А это — число, которым пользуется сам изобретатель метода. Если бы при этом числе не было остатка, действие изобретателя метода было бы совершенно правильным. Но там остается дробь 405/4365 или 9/97 и эта величина не принимается во внимание. Если он употребляет этот делитель без дроби и делит на него произведение частичных лунных дней, умноженных на одиннадцать, частное будет, по необходимости, во столько раз больше, во сколько увеличилось делимое. Остальная часть действия очевидна 16.
Вследствие того, что простой народ Индии, чтобы иметь возможность пользоваться своим летосчислением, нуждается в адхимасе, индийские ученые детально разбирают именно этот способ вычисления и пускаются расписывать то, познание чего, конечно, ниже познания дней недостатка [унаратры] и суммы дней [ахарганы], о вычислении которых они не заботятся.
Один из тех способов, который применяют индийцы для нахождения адхимасы годов кальпы, чатур-юги или кали-юги, состоит в следующем. Они пишут года в трех [разных] местах. Верхнее число они умножают на десять, среднее — на 2 481 и нижнее — на 77 139 17, а затем делят среднее и нижнее числа каждое на 9 600; полученные частные представляют: дни для среднего числа, аваму — для нижнего.
Сумма обоих частных прибавляется к верхнему числу. Вновь полученная сумма представляет число целых дней адхимасы, которые прошли, а сумма чисел, оставшихся в двух других местах, представляет некоторую часть текущей адхимасы. Если разделить дни на тридцать, получаются месяцы.
Йа'куб [ибн Тарик] описывает это действие вполне правильно, так, как оно есть. Мы покажем его способ вычисления для времени, взятого нами в качестве примера, до которого прошло из кальпы 1 972 948 132 года. Это число пишем в трех местах. В верхнем месте умножаем его на десять, отчего у него с правой стороны прибавляется один ноль; среднее умножаем на 2 481, что дает 4 894 884 315 492; /222/ нижнее [382] умножаем на 7 739, и их произведение равно 15268 645593 548. Каждое из последних чисел делим на 9 600; в качестве частного для среднего числа при этом получается 509 883 782 с остатком 8 292, а для нижнего — 1 590 483 915 с остатком 9 548. Сумма остатков равна 17 840. Эта дробь [то есть 17840/9600] считается за единицу. Поэтому сумма целых чисел во всех трех местах будет равна 21829 849 018, то есть дням адхимасы плюс 103/120 начавшегося дня адхимасы.
Если же мы обратим эти дни в месяцы, получим 727 661 633 [месяца] с остатком в двадцать восемь дней, который называется шадд 18. Он представляет промежуток времени между началом [месяца] чайтра, который [никогда] не отбрасывается, и весенним равноденствием.
Далее, прибавив частное, которое мы получили для среднего числа, к годам [кальпы], получаем 2 482 831914; разделив его на семь, получаем в остатке три. Поэтому вступление Солнца в знак Овна в этом году приходится на вторник. Что касается обоих чисел, служащих множителями в среднем и нижнем местах, [то объяснение их следующее].
Гражданские дни кальпы, деленные на число ее солнечных циклов, дают в качестве частного число дней, составляющих год, а именно триста шестьдесят пять дней с остатком в пять дней с дробью 1116450000/4320000000 которая при сокращении на общий делитель 450 000 дает 2481/9600 Числитель и знаменатель этой дроби можно сократить еще раз, разделив их на три. Дробь, впрочем, оставляют без изменения, когда хотят, как в описанном случае, чтобы она имела такой же знаменатель, как у других дробей, которые возникают в процессе всего вычисления.
Если разделить всеобщие дни недостатка [унаратры] на число солнечных годов кальпы, то частное выразит часть [солнечного] года, [состоящую из дней унаратры], а именно пять дней с дробью 3 482 550 000/4 320 000 000 которую можно сократить, разделив ее числитель и знаменатель на то же число, [то есть на 450000]. В результате мы получим 5 7739/9600 дня.
Оба года, как солнечный, так и лунный, измеряются приблизительно трехсотшестьюдесятью днями, равно как и оба гражданских года состоят из количества дней, близкого к тому же числу, которое немного больше у одного из них, немного меньше у другого. Одним из этих измерений, а именно измерением лунного года, пользуются в данном вычислении, тогда как другое измерение, а именно измерение [383] солнечного года, является искомым. Сумма обоих частных, [то есть среднего и нижнего чисел], выражает разницу между солнечными и лунными годами. Сумма целых дней умножается на верхнее число, а каждая из дробей умножается одна на среднее, другая — на нижнее число.
Если же мы захотим сократить все вычисление и откажемся от того, к чему стремятся индийцы, то есть от нахождения среднего движения обоих светил, то мы складываем оба множителя среднего и нижнего чисел; тогда получается 10 220. К этой сумме мы прибавляем, на верхнем месте, произведение делителя, умноженного на десять, что составляет 96 000, и получаем 106220/9600. Сократив дробь наполовину, получим — 5311/480.
Выше мы уже объяснили (См. стр. 373 ), что, когда умножают дни на 5 311 и делят произведение на 172 800, получаются дни адхимас. Если же вместо дней мы умножим число годов, то произведение будет 1/360 того произведения, которое получится от умножения на число дней. Если же мы захотим получить то же частное, которое мы получили в результате первого деления, нужно разделить на 1/360 делитель того числа, на которое мы делили в первом случае, что /223/ составит 480.
Пулиса советует действовать подобным же образом. Число частичных месяцев он пишет в двух местах. В одном из них он его умножает на 1 111, а произведение делит на 67 500. Полученное частное он вычитает из числа, написанного в другом месте, а остаток делит на 32. Вновь полученное им частное представляет число месяцев адхимасы, а если в остатке у него содержится дробь, то это — та часть начавшегося месяца адхимасы, которая уже прошла.
Если же умножить все это число на тридцать и разделить произведение на 32, то частное выразит дни текущего месяца адхимасы с их долями.
Логическое основание его действия заключается в следующем. Когда солнечные месяцы чатур-юги делят на месяцы адхимасы, содержащиеся в чатур-юге, в соответствии с методом Пулисы, в частном получается 32 35552/66389 если же разделить месяцы на то же число, получаются целые месяцы адхимасы для уже истекшей части чатур-юги или кальпы. Однако Пулиса хотел разделить их на одни целые числа, [отбросив дроби]. Поэтому ему пришлось что-то вычитать из делимого, как было уже ранее объяснено для аналогичного случая. Применив тот же способ для года, взятого нами в качестве примера, [384] мы нашли 35552/2160000 — Дробь, которую можно сократить, разделив на тридцать два. Тогда мы получим 1111/67500 19.
Пулиса в этом вычислении вместо месяцев пользовался солнечными днями, в которые он обращает дату, [взятую им в качестве примера,] ибо он говорит: «Нужно написать это число дней в двух местах, в одном из них умножить его на 271 и разделить произведение на 4 050 000. Полученное частное нужно вычесть из числа, написанного в другом месте, а затем разделить остаток на 976. В частном получатся месяцы, дни и доли дней адхимасы» 20.
Далее он говорит: «Причина этого заключается в том, что если мы разделим дни чатур-юги на месяцы адхимасы, то получится 976 с остатком 104 064. Для этого числа и для делителя общим делителем является 384; сократив на него дробь, мы получим 271/2050000 дня».
Я подозреваю в этом, впрочем, переписчиков или переводчика, так как Пулиса был слишком крупным ученым, чтобы допустить в подобном случае оплошность. Дело в том, что дни, которые делятся на месяцы адхимасы, должны непременно быть солнечными, а частное из их целых должно выражаться целыми и дробными числами, как мы это показали; при этом знаменатель и числитель дроби сокращаются на свой общий делитель — двадцать четыре, и получается дробь 4336/66389. Если мы воспользуемся этим же способом для месяцев и обратим число месяцев адхимасы в дробь, то получим для знаменателя 47 800 000. Общим делителем для обеих частей дроби является число 16, и если мы их на него разделим, то получим 2 800 000 21.
Что касается числа, которое Пулиса принимает за делитель, то, если мы его умножим на общий делитель, который мы указали, а именно на 384, получается 1 555 200 000, что представляет число солнечных дней в чатур-юге. В этой части вычисления, кроме того, нельзя пользоваться этим числом в качестве делителя 22.
Если обосновать это действие на принципах Брахмагупты, то нужно разделить всеобщие солнечные месяцы на месяцы адхимасы, в результате чего получится, согласно принятому им методу, удвоенная адхимаса.
Подобный же способ можно применить в дальнейшем для вычисления дней недостатка [унарагры]. Частичные лунные дни пишутся в двух местах. В одном из них они умножаются на 50 663, а произведение делится на 3 562220. Полученное частное вычитается из числа, написанного в другом месте, а остаток делится на 63 без дроби 23.
Дальнейшие длинные вычисления [индийцев] бесполезны, в особенности с применением авамы, то есть остатка частичной унаратры, [385] ибо остатки, получаемые от обоих делений, имеют различные знаменатели.
Тот, кто вполне усвоил предыдущие приемы обращения, правильно подойдет к [обратному действию, а именно] переводу дней в годы, если ему известны истекшие из кальпы или чатур-юги дни. Из предосторожности мы все же повторим перечисление приемов.
Итак, скажем, что если мы хотим найти годы, когда даны дни, то последние должны непременно быть гражданскими днями, ибо они выражают разницу между лунными днями и днями недостатка [унаратрой]. Эта разница так относится к своему недостатку [унаратре], как разница между всеобщими лунными днями и всеобщими днями недостатка [унаратры], а именно 1 577 916 450 000, относится ко всеобщим дням недостатка [унаратре]. Последнее указанное число заменяется 3 506 481. Если же умножить данное число дней на 57 739 и разделить произведение на 3 506 481, получатся частичные дни недостатка [унаратры].
А если к ним прибавить гражданские дни, все число обратится в число лунных дней, составленное из частичных солнечных дней плюс частичные дни адхимасы. Эти лунные дни (В тексте «солнечные» ) так относятся к дням адхимасы, которые их дополняют, как всеобщие солнечные дни плюс дни адхимасы, а именно 160 299 900 000, относятся к всеобщим дням адхимасы; это последнее указанное число заменяется числом 178 111. Если, далее, умножить частичные лунные дни, которые мы получили, на 5311 и разделить произведение на 178 111, получится число частичных дней адхимасы. Если вычесть их из этих лунных дней, в остатке получится число солнечных дней. Тогда обращаем дни в месяцы, разделив их на тридцать, а месяцы — в годы, разделив их на двенадцать. А это — то, что требуется найти.
Например, число частичных гражданских дней, которые прошли до времени, взятого нами в качестве примера, составляет 720 635 951 963. Пусть это число нам будет дано и требуется найти, сколько индийских годов и месяцев оно составляет.
Мы умножаем его на 55 739 и делим полученное произведение на 3 506 481; частное составит 11 455 224575 дней недостатка [унаратры].
Это число мы прибавляем к гражданским дням, тогда получается 732 091 176 538 лунных дней. Мы умножаем их на 5 311 и делим произведение на 178 111. Частное составит число дней адхимасы, а именно — 21 829 849 018 24.
Мы вычитаем их из лунных дней и получаем в остатке число 710 261 327 520, которое представляет частичные солнечные дни. [386] Мы их делим на тридцать и получаем 23 675 377 584 солнечных месяца. Разделив их на двенадцать, получим 1 972 948 132. Это частное представляет собой индийские годы, которые таким образом возвратились к исходному числу нашего примера 25.
Есть для этого еще один способ, который упоминает Йа'куб [ибн Тарик]:
«Данные гражданские годы умножают на всеобщие лунные дни, а произведение делят на всеобщие гражданские дни. Частное пишется в двух местах. В одном месте число умножается на всеобщие месяцы адхимасы, а произведение делится на всеобщие лунные дни. Тогда получаются месяцы адхимасы, которые, умноженные на тридцать, вычитаются из числа, написанного в другом месте. В остатке получается число частичных солнечных дней. Их обращают в месяцы и годы».
Логическое основание этого вычисления состоит в следующем: мы уже прежде сказали, что число данных дней представляет собой разницу между лунными днями и их унаратрой, подобно тому как всеобщие гражданские дни представляют разницу между всеобщими лунными днями и их всеобщей унаратрой. Эти обе величины находятся в постоянном соотношении одна с другой.
Поэтому и получаются частичные лунные дни, которые мы записываем в двух местах. Так как они равны сумме солнечных дней и дней адхимасы, подобно тому как всеобщие лунные дни равны сумме всеобщих солнечных дней и дней всеобщей адхимасы, то частичные и всеобщие дни адхимасы относятся одни к другим так же, как оба наши числа, независимо от того, выражают ли они оба месяцы или дни.
Что касается способа вычисления частичных дней недостатка [унаратры] посредством частичных месяцев адхимасы, который приводит Йа'куб [ибн Тарик], то он находится во всех рукописях [его книги]:
«Прошедшие адхимасы вместе с частями начавшейся адхимасы, — пишет он, — умножаются на всеобщие дни недостатка [унаратры] и произведение делится на всеобщие солнечные месяцы, а частное прибавляется к адхимасе. В результате получается число прошедших унаратр».
Я полагаю, что он, [автор этого правила,] не обладал ни знаниями, ни умением руководствоваться аналогией и опытом [предшественников]. Ибо месяцы адхимасы, которые прошли из чатур-юги до момента, взятого лами в качестве примера, согласно теории Пулисы, равны 1 196 525 44837/45000. Умножив это число на недостаток [унаратру] чатур-юги. мы получим 30011600068426 41/125. Если мы разделим это [387] число на солнечные месяцы, мы получим частное 578 927. Прибавив это число к адхимасе, мы получим 1 775 452. Но это не то, что требовалось найти, ибо число дней недостатка [унаратры] равно 18 835 700. Результат умножения этого числа на тридцать также не тот, [который мы должны были бы получить], ибо он равен 53 263 560, и оба числа далеки от истины 26.
Комментарии
1. Шрам замечает, что правило в начале 52-й главы изложено ошибочно. Следует умножить целые годы на 12, к произведению прибавить число минувших месяцев текущего года. Сумма составит число частичных солнечных месяцев (saurаhargana, саврахргн). Число пишут в двух местах; в первом его умножают на 5311 и делят на 172 800. Частное, выражающее целые месяцы, добавляется к числу во втором месте; сумма умножается на 30; к произведению прибавляется число минувших дней текущего месяца. Итог представляет собой сумму частичных лунных дней (candrahargana, джандрахрган). См. Sachau, Ihdia, transl., II, pp. 364 ff.
2. Здесь, по указанию Шрама (см. выше, прим. 1), начинается ошибочное вычисление. Прежде следует умножить число на 5311; разделить на 172 800 и т. д.
3. При правильном вычислении по методу, указанному Шрамом, итог должен составить 720 535 951 935 (см. Sachau, India, transl., II, pp. 365,366).
4. Согласно исправлению Шрама, число месяцев адхимасы равно 727 661 633 3463/3600. Целое обозначает число минувших добавочных месяцев, дробь — время, минувшее с начала текущего месяца адхимасы, a именно 28 дней 51 минуту 30 секунд; до полного месяца остается I день 8 минут 30 секунд.
5. Gunakаra (гунгар) — «множитель»; bhagahara (бхагабахарх) — «деление, делитель».
6. Это число получаем из сложения 35 895 750 (т. е. 1 196 525 X 30) дней адхимасы с 1 167 887 520 солнечных дней (Schram; Sachau, India, transl., II, p. 366).
7. Шрам указывает, что метод Арьябхаты идентичен изложенному выше, но он дает иные числа для умножения и деления соответственно своей системе, насчитывающей иное число обращений планет в течение кальпы. Выше, в таблице, приводятся числа: 4 320 000 для Солнца и 57 753 336 для Луны, что совпадает с данными «Арья-сиддханты» (см. Sachau, India, transl., II, p. 367).
8. Эта цифра точно совпадает с текстом «Арья-сиддаханты» (см. Bentley, Historical view of the Hindu astronomy, p. 181).
9. T. e. 25 февраля 1031 г., что со дня начала кали-юги (18 февраля 3102 г. до н. э.) составит 1 509 220 дней.
10. Число получено умножением числа дней кальпы (1 590540840000) на число кальп (6 068). См. Sachau, India, transl., II, p. 368.
11. Повторение ошибки, указанной выше, в прим. 1.
12. Лакуна в тексте. Шрам предположительно подсказывает текст: «...в трех местах; они умножают число внизу на 77 и произведение делят на 69 120» (Sachau, India, transl., II, p. 369).
13. «Читай «лунных» вместо «солнечных», — замечает Захау (там же).
14. Т. е. к произведению числа частичных лунных дней на 11 (Schram; там же).
15. Шрам выражает это уравнением: А/(63 1155/15933) = (А-Х)/65 , где А - число месяцев а X — вычитаемая часть. Следовательно, 65 (1155/15933) : (1155/15933) = А:Х (Sachau, India, transl, II, p. 369).
16. Шрам объясняет изложение ал-Бируни следующим уравнением: (A+X)/(703/11) = А/(63 50663/55739):Х=А/(403963 9/97). Дробь 9/97 отбрасывается (там же).
17. Шрам указывает, что здесь должна стоять цифра 7 739 (там же).
18. Возможно индийское, еще не опознанное, слово; точное произношение его неизвестно.
19. Тот же случай, что и выше (см. прим. 15) с небольшим различием в цифрах. Шрам дает уравнение: А/32 35552/66389=(А-Х)/32; Х=А((35552/66389)/(32 35552/66389))=А(1111/67500) (см. Sachau, India, transl, II, pp. 370-371).
20. За делитель здесь вместо числа месяцев адхимасы взято число солнечных дней (1555 222 000). Частное должно равняться 976 4336/66389 (Sachau, India, transl, II, p. 371).
21. Шрам указывает, что вычисления Пулисы правильны. Число солнечных дней чатур-юги делится на число месяцев адхимасы: 1555200 000 : 159226 = 976 4336/66389; на это число следует разделить число данных солнечных дней, для того чтобы получить число соответствующих месяцев адхимасы. Пулиса отбрасывает дробь и делит на 976. Обозначая число данных солнечных дней D получаем уравнение D/(976 4336/389)=(D-X)/976; (104064/1555200000)=D 271/4050000; (там же).
22. Шрам указывает, что, напротив, именно это число должно быть делителем. Принимаем S за число солнечных дней в чатур-юге, А — за число месяцев адхимасы в чатур-юге. Делим S на А и получаем целое число с дробью. Принимая Q за целое число, R — за числитель дроби, получаем уравнение S/A=Q+R/A. D - число данных солнечных дней. Чтобы получить соответствующее число месяцев адхимасы, следует D разделить на Q=R/A; но если мы хотим делить на Q, следует извлечь из D число X согласно уравнению. D/(Q=R/A)=D-X/Q; X=D(R/AQ+R)=D(R/S). (там же, р. 372).
23. Шрам сводит это рассуждение к уравнению L/(63 50663/55749) = (L-X) / 63 = L (50663/356220), где L означает число данных лунных дней (там же).
24. Число это неправильно, как указывает Шрам; оно должно быть меньше на 28 дней. Но и указанное далее число дней адхимасы (21 829 849 018) также завышено на 28 дней; разница остается правильной (там же).
25. Здесь в вычислении допущена та же ошибка, которая была уже отмечена выше (см. прим. 1). Сначала следует число 720 635 951 935 умножить на 55 739 и разделить на 3 506 481. Частное (в целых числах) прибавляется к числу обыденных дней; сумма делится на 30, что дает число лунных месяцев, а именно 24 403 039 217, вычитая отсюда число месяцев адхимасы (число лунных месяцев, умноженное на 5 311 и деленное на 178 111), — в целых числах оно составит 727 661 633 месяца — получаем 23 675 377 584 солнечных месяца, т. е. 1 972 948 132 года (без дроби). См. Sachau, India, transl., II, pp. 372, 373.
26. Шрам подтверждает ошибочность приведенного правила и дает поправки к числам, принятые в нашем переводе. В арабском тексте соответственно: 1196925 1335/1500; 30011600068626 51/125; 578946; 1775471; 18825700;53264130 (там же, р. 373)