АБУ РЕЙХАН БИРУНИ
ИНДИЯ
КИТАБ ТАРИХ АЛ-ХИНД
(КНИГА ИСТОРИИ ИНДИИ)
ГЛАВА LIV — О ВЫЧИСЛЕНИИ СРЕДНЕГО ПОЛОЖЕНИЯ ПЛАНЕТ
Если известно число циклов [планет] в кальпе или в чатур-юге и известно, сколько циклов уже минуло, и мы знаем также, что сумма дней кальпы или чатур-юги так относится к сумме циклов, как сумма их прошедших дней относится к соответствующей части циклов, то общее действие для этого случая будет следующим. Прошедшие дни кальпы. или чатур-юги умножаются на циклы планеты или на циклы ее апсиды или ее узла, которые она описывает в одной кальпе или в одной чатур-юге. Произведение делится на сумму дней кальпы или чатур-юги в зависимости от того, на которой из них строится вычисление. Частное представляет полные циклы, но так как они не нужны, их не принимают во внимание. Остаток, получающийся при делении, умножается затем на двенадцать, а произведение делится на сумму дней [кальпы или чатур-юги], на которую уже один раз делили; так получаются числовые значения знаков зодиака. Остаток деления умножается на тридцать, а произведение мы делим на тот же делитель. При этом получаются градусы; остаток умножается на шестьдесят, и мы делим его на тот же делитель. Частное выразит минуты. Вычисление может быть продолжено, если хотят получить меньшие величины (Т. е. секунды, терции и т. д.). Частное выразит место той планеты соответственно с ее средним движением или место той апсиды или того узла, [которые мы ищем].
То же самое говорит и Пулиса, но метод его иной, а именно: получив целые циклы, [которые прошли к определенному времени,] он делит остаток на 131 493 150. Частное представляет средние числовые значения знаков зодиака. Остаток он делит на 4 383105, и получаются градусы. Остаток, умноженный на четыре, он делит на 292 207, и [397] получаются минуты. Затем он умножает остаток на шестьдесят, а произведение делит на последний указанный делитель и получаются секунды. Это вычисление можно продолжать сколько угодно. Частное, полученное таким образом, представляет искомое среднее положение планеты.
Это потому, что ему, [Пулисе], требовалось умножить остальные циклы на двенадцать и делить произведение на дни чатур-юги, так как все его вычисление построено на ней. Вместо этого он разделил на частное, которое получается при делении дней чатур-юги на двенадцать. А это — первое число из трех, [которые он упоминает].
Ему надо было умножать также и остальные значения знаков зодиака на тридцать и делить произведение на тот же делитель, [которым он пользуется в первый раз]; вместо этого он разделил на частное, которое получается при делении первого числа на тридцать, а это частное представляет второе число.
По аналогии с этим он хотел разделить все оставшиеся градусы на частное, которое получается при делении второго числа на шестьдесят. Но когда он произвел это деление, то получил 73 051 с остатком в три четверти. Затем он умножил все на четыре, чтобы превратить дроби в целые числа. По той же причине он умножил и остаток на четыре, но, не получив целых чисел, /231/ как то было указано раньше, снова 231 все умножил на шестьдесят.
Если мы хотим применить этот способ вычисления к кальпе, действуя по методу Брахмагупты, то первое число, на которое надо делить остаток циклов,—131 493 037 500; второе число, на которое нужно делить остаток значений знаков зодиака, — 4 383 101 250; третье число, [на которое делят остаток градусов,]—73 051 687 и остается еще половина, которая делает нужным удвоение, чтобы получилось 146 103 375, и на него делят удвоенный остаток минут.
Брахмагупта, впрочем, не пользуется ни кальпой, ни чатур-югой из-за множества дней, которые в них содержатся, а берет, для облегчения вычисления, кали-югу. Применяя вышеприведенный метод обращения [месяцев в дни] к кали-юге, по его системе, число ее дней умножают на число циклов планеты в кальпе. К произведению прибавляют ее основу, то есть оставшиеся циклы, которые были у планеты в начале кали-юги. Сумму делят на гражданские дни кали-юги, а именно на 157 791 645. Частное представляет полные циклы планеты, которые отбрасываются. С остатком же поступают так, как мы только что указали, и получают число, выражающее среднее положение планеты 1.
Что касается упомянутых основ, то они выражаются [следующими цифрами] 2: для Марса —4 308 768 000, для Меркурия —4 288 896 000, для Юпитера—4 313 520 000, для Венеры—4 304 448 000, для [398] Сатурна — 4 305 312 000, для апсиды Солнца — 933 120 000, для апсиды Луны — 1 505 952 000, для восходящего узла — 1 838 592 000.
Что касается Солнца и Луны, то они находились в середине своего движения, в 0° Овна, и между ними не было разрыва.
В упомянутых нами зиджах мы находим следующий метод: «Ахаргана, то есть сумма дней даты, умножается для каждого светила на данное число, а произведение делится еще на другое данное число. Частное, которое мы получили, представляет полные циклы, а что следует за ними, [дроби], представляет его среднее движение. Иногда вычисление может быть завершено на этом, но иногда чтобы оно завершилось, надо дни даты еще раз разделить на некоторое число, либо не подвергая их изменению, либо умножив их на некоторое число. Частное в этом случае должно быть прибавлено к произведению, полученному в первом месте».
Иногда же принимаются за основу некоторые числа, которые должны быть прибавляемы или вычитаемы так, чтобы среднее движение в начале эры считалось от 0° Овна. Это метод «Кхандакхадьяки» и «Каранатилаки». Тем не менее в «Каранасаре» среднее место светил устанавливается для весеннего равноденствия и ахаргана считается начиная с этого момента. Но так как эти методы частичны и слишком подробны, [ни один из них не приобрел особого значения. Поэтому] их изложение [здесь] было бы излишне длинным без всякой пользы. Следующие затем уточнения и действия не имеют никакого отношения к вопросам, которые нас занимают.
Комментарии
1. Шрам определяет следующий порядок, вычисления: сумма дней кали-юги умножается на число звездных циклов кальпы и делится на число обиходных дней кальпы, т. е. на 1577 916 450 000. Частное выражает число оборотов планеты за время, прошедшее с начала кали-юги. К нему следует прибавить число оборотов с начала кальпы (т. е. с того момента, когда все планеты находились в исходном положении). Отбрасывая целые числа, в данном случае нас не интересующие, оставляем дробь, выражающую место планеты (долю оборота) в данный момент кали-юги. Брахмагупта производил сложение раньше деления на 1 577 916 450 000, что оправдано, поскольку обе дроби имеют при этом один знаменатель. То, что он называет основой, есть дробь, выражающая долю оборота планеты в начале кали-юги, помноженная на число обиходных дней кальпы; но здесь он допускает грубую ошибку в вычислениях. Вместо того, чтобы умножить дробь на число дней (т. е. 1 577 916 450 000), Брахмагупта умножает ее на число лет кальпы, т. е. на 4 320 000 000. Отсюда — ошибки в определении «основ» ниже (там же, р. 385).
2. Все эти цифры ошибочны (см. выше, прим. 1). Шрам дает следующие поправки: Марс — 1 573 2. 813 867230; Меркурий — 1 566 555 451 560; Юпитер — 1 575 549576 325; Венера — 1 572 235 950 780; Сатурн — 1 572 551 534 070; апсида Солнца — 340829953 200; апсида Луны — 550 061 674 470; восходящий узел — 671 561241 120 (там же, р. 386).